Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）直線l₁過橢圓C₁的左焦點(diǎn)F₁，且與x軸垂直，動直線l₂垂直于直線l₂，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（III）設(shè)C₂上的兩個(gè)不同點(diǎn)R、S滿足，求的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】分析：（I）由離心率為，可得2a²=3b²，利用直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，可求b的值，從而可得橢圓方程；
（II）由|MP|=|NF₂|得動點(diǎn)M的軌跡是以直線x=-1為準(zhǔn)線，以F₂為焦點(diǎn)的拋物線，從而可得軌跡C₂的方程；
（III）設(shè)出R，S的坐標(biāo)，利用，可得縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用基本不等式確定S縱坐標(biāo)的范圍，進(jìn)而可求||的取值范圍．
解答：解：（I）由離心率為，得，∴2a²=3b²，
∵直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
∴
∴b=
∴a=，
∴橢圓方程為            …（3分）
（II）由|MP|=|NF₂|得動點(diǎn)M的軌跡是以直線x=-1為準(zhǔn)線，以F₂為焦點(diǎn)的拋物線．
∴軌跡C₂的方程是y²=4x                         …（6分）
（III）設(shè)R（，y₁），S（，y₂），則=（，y₁），=（，y₂），
∴=（，y₂-y₁），
∵，∴+y₁（y₂-y₁）=0，
∵y₂≠y₁，∴y₂=-（y₁+），
∵=（y₁+）²=++32≥64，當(dāng)且僅當(dāng)=，即y₁=±4等號成立，…（9分）
∵||=，，
∴當(dāng)，即y₂=±8時(shí)，||取得最小值8，
∴||的取值范圍是[8，+∞）                       …（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查基本不等式，定型定量是關(guān)鍵．