Question

(本小題滿分14分)
在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且(a+b+c)(b+c-a)=3bc．
(1)求角A的度數(shù)；
(2)若2b=3c，求tanC的值．

Answer 1

(1)A= (2)tanC=．      
(注：第(2)問也可以通過所給的邊2b=3c的關(guān)系，代入已知條件，用一條邊表示另外兩條邊，再用余弦定理計(jì)算出cosC的值，再計(jì)算出sinC的值，從而得到tanC的值．可以仿照此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行給分．)

本試題主要是考查了運(yùn)用正弦定理和余弦定理來求解三角形的綜合運(yùn)用。
（1）首先將給定的關(guān)系式(a+b+c)(b+c-a)=3bc，利用余弦定理變形，得到關(guān)于A角的余弦公式，從而得到結(jié)論。
（2）可以通過所給的邊2b=3c的關(guān)系，代入已知條件，用一條邊表示另外兩條邊，再用余弦定理計(jì)算出cosC的值，從而得到結(jié)論。
解: (1)由(a+b+c)(b+c-a)=3bc得(b+c)²-a²=bc，所以cosA==，
又Ax∈(0，p)，所以A=．                          ············ 6分
(2)由正弦定理得，2b=3c⇒2sinB=3sinC                ············ 8分
⇒2sin(A+C)=3sinC⇒2sin(+C)=3sinC
⇒cosC+ sinC =3sinC                              ··········· 11分
⇒cosC=2sinC⇒tanC=．                        ··········· 14分
(注：第(2)問也可以通過所給的邊2b=3c的關(guān)系，代入已知條件，用一條邊表示另外兩條邊，再用余弦定理計(jì)算出cosC的值，再計(jì)算出sinC的值，從而得到tanC的值．可以仿照此標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行給分．)