如圖所示,設(shè)曲線y=
1
x
上的點與x軸上的點順次構(gòu)成等腰直角三角形△OB1A1,△A1B2A2,…,直角頂點在曲線上y=
1
x
,設(shè)An的坐標為(an,0),A0為原點
(1)求a1,并求出an和an-1 n∈N*之間的關(guān)系式;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)bn=
2
an-1+an
(n∈N*)
,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
分析:(1)由題設(shè)知a1=
a1
2
+
2
a1
,由此能求出a1,利用△An-1BnAn為等腰直角三角形,且Bn為直角頂點,求出Bn點的橫縱坐標,再根據(jù)Bn點為函數(shù)y=
1
x
(x>0)圖象上的點,坐標滿足函數(shù)y=
1
x
(x>0)的解析式,就可得到an和an-1 之間的關(guān)系式.
(2)由(1)知數(shù)列{an2}是首項為4,公差為4的等差數(shù)列,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(3)由bn=
2
an-1+an
=
1
n
+
n-1
=
n
-
n-1
,能求出數(shù)列{bn}的前n項和Sn
解答:解:(1)∵曲線y=
1
x
上的點與x軸上的點順次構(gòu)成等腰直角三角形△OB1A1,△A1B2A2,…,直角頂點在曲線上y=
1
x
,設(shè)An的坐標為(an,0),A0為原點,
a1=
a1
2
+
2
a1
,
解得a1=2.
過Bn點作BnH⊥x軸,垂足為H,
∵△An-1BnAn為等腰直角三角形,且Bn為直角頂點,
∴|BnH|=
1
2
|An-1An|=
an-an-1
2
,
∴Bn點的縱坐標為
an-an-1
2
,
∵△An-1BnAn為等腰直角三角形,且Bn為直角頂點,
∴H點為線段An-1An的中點,
∴H點橫坐標為
an+an-1
2
,
∵BnH⊥x軸,∴Bn點的橫坐標也為
an+an-1
2
,
∵Bn點為函數(shù)y=
1
2
(x>0)圖象上的點,
an-an-1
2
an+an-1
2
=1
an2-an-12=4.
(2)∵an2-an-12=4,a1=2,
∴數(shù)列{an2}是首項為4,公差為4的等差數(shù)列,
an2=4n,
an=2
n

(3)∵bn=
2
an-1+an

=
1
n
+
n-1

=
n
-
n-1
,
∴Sn=(
1
-
0
)+(
2
-
1
)+…+(
n
-
n-1

=
n
點評:本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法,解題時要認真審題,仔細解答,注意數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考察基地.視冰川面為平面形,以過A,B兩點的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖).在直線x=2的右側(cè),考察范圍為到點B的距離不超過
6
5
5
km的區(qū)域;在直線x=2的左側(cè),考察范圍為到A,B兩點的距離之和不超過4
5
km的區(qū)域.
(Ⅰ)求考察區(qū)域邊界曲線的方程;
(Ⅱ)如圖所示,設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍,求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間.
精英家教網(wǎng)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川山上相距8Km的A、B兩點各建一個考察基地,視冰川面為平面形,以過A、B兩點的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(如圖).考察范圍到A、B兩點的距離之和不超過10Km的區(qū)域.
(1)求考察區(qū)域邊界曲線的方程:
(2)如圖所示,設(shè)線段P1P2(3)是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍.問:經(jīng)過多長時間,點A恰好在冰川邊界線上?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},求a,b的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:安徽省合肥市2012屆高三第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學文科試題 題型:044

如圖所示,設(shè)曲線y=上的點與x軸上的點順次構(gòu)成等腰直角三角形△OB1A1,△A1B2A2,…,,直角頂點在曲線y=上,設(shè)A1的坐標為(an,0),A0為原點

(1)求a1,并求出an和an-1(n∈N*)之間的關(guān)系式;

(2)求數(shù)列{an}的通項公式;

(3)設(shè)bn(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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