【題目】某城市有一直角梯形綠地,其中,km,km.現(xiàn)過邊界上的點(diǎn)處鋪設(shè)一條直的灌溉水管,將綠地分成面積相等的兩部分.
(1)如圖①,若為的中點(diǎn),在邊界上,求灌溉水管的長度;
(2)如圖②,若在邊界上,求灌溉水管的最短長度.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題分析:(1)由面積相等建立等量關(guān)系:先確定直角梯形高,求得直角梯形面積,再表示四邊形的面積:分割成一個小直角梯形及一個直角三角形,其中為中點(diǎn),根據(jù)四邊形的面積為直角梯形面積一半,可解得,進(jìn)而求得(2)易得,進(jìn)而可得,其中,,根據(jù)的面積為直角梯形面積一半,可解得,再由余弦定理可得,利用基本不等式求最值
試題解析:(1)因?yàn)?/span>,,,
所以,……………………………………2分
取中點(diǎn),
則四邊形的面積為,
即,
解得,…………………………………………6分
所以(km).
故灌溉水管的長度為km.……………………8分
(2)
設(shè),,在中,,
所以在中,,
所以,
所以的面積為,
又,所以,即.……………………12分
在中,由余弦定理,得,
當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”.
故灌溉水管的最短長度為km.……………………………………16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓內(nèi)有一點(diǎn)為過點(diǎn)且傾斜角為的弦.
(1)當(dāng)時,求弦的長;
(2)當(dāng)弦被平分時,圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn),求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2009年推出一種新型家用轎車,購買時費(fèi)用為萬元,每年應(yīng)交付保險費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共萬元,汽車的維修費(fèi)為:第一年無維修費(fèi)用,第二年為萬元,從第三年起,每年的維修費(fèi)均比上一年增加萬元.(1)設(shè)該輛轎車使用年的總費(fèi)用(包括購買費(fèi)用、保險費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)及維修費(fèi))為,求的表達(dá)式;(2)這種汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年,年平均費(fèi)用最少)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱(側(cè)棱垂直于底面,且底面是正三角形)中,是棱上一點(diǎn).
(1)若分別是的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若是上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,是6與的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù),使不等式恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)當(dāng),時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)的圖象在兩點(diǎn),處的切線分別為,,若,,且,求實(shí)數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn),的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn),
(1)寫出的方程;
(2)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的方程為:(,為常數(shù)).
(Ⅰ)判斷曲線的形狀;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、,且,求曲線的方程.
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