Question

某民營企業(yè)從事M國某品牌運動鞋的加工業(yè)務，按照國際慣例以美元結算．依據以往的加工生產數據統(tǒng)計分析，若加工訂單的金額為x萬美元，可獲得的加工費的近似值為

1

2

ln(2x+1)萬美元．2011年以來，受美聯儲貨幣政策的影響，美元持續(xù)貶值．由于從生產訂單簽約到成品交付要經歷一段時間，收益將因美元貶值而損失mx美元（其中m是該時段的美元貶值指數，且0＜m＜1），從而實際所得的加工費為f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx萬美元．
（1）若某時段的美元貶值指數m=

1

200

，為了確保企業(yè)實際所得加工費隨x的增加而增加，該企業(yè)加工產品訂單的金額x應該控制在什么范圍內？
（2）若該企業(yè)加工產品訂單的金額為x萬美元時共需要的生產成本為

1

20

x萬美元．已知該企業(yè)的生產能力為x∈[10，20]，試問美元貶值指數m在何范圍內時，該企業(yè)加工生產不會出現虧損？（已知(ln(2x+1))′=

2

2x+1

）．

Answer 1

分析：（1）根據知m=

1

200

，f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx，可得函數解析式，利用導數大于0，即可得到結論；
（2）設企業(yè)加工生產不出現虧損，則當x∈[10，20]時，都有

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x，即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，求出左邊對應函數的最小值，即可確定貶值指數m的范圍．

解答：解：（1）由已知m=

1

200

，f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx，∴f(x)=

1

2

ln(2x+1)-

x

200

(x＞0)
∴f′(x)=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

由f'（x）＞0⇒199-2x＞0，解得0＜x＜99.5
即加工產品訂單金額x∈（0，99.5）（單位：萬美元），該企業(yè)的加工費隨x的增加而增加．
（2）依題意，設企業(yè)加工生產不出現虧損，則當x∈[10，20]時，都有

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x，
即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，
設g（x）=10ln（2x+1）-（20m+1）x，則g′(x)=

-(20m+1)x-20m+19

2x+1

令g（x）=0，則x=

19-20m

40m+2

∵x=

19-20m

40m+2

=

1

2

+

18

40m+2

＜10
∴g（x）在[10，20]上是減函數
所以，g（x）_min=g（20）=10ln41-20（20m+1）≥0，∴m≤

ln41-2

40

，又m＞0，
所以，m∈（0，

ln41-2

40

]時，該企業(yè)加工生產不會虧損．

點評：本題考查函數解析式的求解，考查導數在求函數最值問題中的應用，解題的關鍵是將企業(yè)加工生產不出現虧損，轉化為不等式，再借助于函數的最值進行研究．