已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）定理：若函數(shù)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且存在，則當(dāng) 時，總有．請根據(jù)上述定理，且已知函數(shù)是上的凹函數(shù)，判斷與的大��；

（Ⅲ）求證：．

（Ⅰ）（）．                         

（Ⅱ）．                                               

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．


解析:

（Ⅰ）時，或．

由于是正項(xiàng)數(shù)列，所以．

當(dāng)時，

，                               

整理，得．

由于是正項(xiàng)數(shù)列，∴．

∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．      

從而，當(dāng)時也滿足．

∴（）．                         

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

對于上的凹函數(shù)，有．

根據(jù)定理，得．　　　　　　　　　　　

整理，得．

令，得．          

∴，即．

∴．                                              

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為方程的一根。

（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；

（3）求證：當(dāng)時，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆河北省正定中學(xué)高三上學(xué)期第三次考試文科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（滿分12分）
已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：；設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年重慶市三峽聯(lián)盟高三3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 .

（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：；

（3）是否存在非零整數(shù)，使不等式

對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)高三高考適應(yīng)性3月考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

本小題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．

（I） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，

求證：數(shù)列為等差數(shù)列．

 

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