【題目】(2015·江蘇)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1 , 設(shè)AB1的中點為D,B1CBC1=E.求證:
(1)DE∥平面AA1C1C
(2)BC1⊥AB1
【答案】
(1)
見解析。
(2)
見解析。
【解析】由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面BB1C1C為平行四邊形,因此點E為B1C的中點,從而由三角形中位線性質(zhì)得DE∥AC,,再由線面平行判定定理得DE∥平面AA1C1C(2)因為直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1所以側(cè)面BB1C1C為正方形,因此BC1⊥B1C,又,AC⊥BC, AC⊥CC1(可由直三棱柱推導(dǎo)),因此由線面垂直判定定理得AC⊥平面BB1C1C,從而AC⊥BC1 , 再由線面垂直判定定理得BC1⊥平面AB1C, 進(jìn)而可得BC1⊥AB1.
(1)由題意知,E為B1C的中點,又D為A1B的中點,因此DE∥AC。 又因為DE平面AA1C1C, AC平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C。
(2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC, 所以AC⊥CC1,又因為AC⊥BC, CC1平面BCC1B1 , BCBCC1B1, BCCC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1 , 又因為BC1BCC1B1, 所以BC1⊥B1C.
因為AC, B1C平面B1AC, AC1C=C, 所以BC1⊥平面B1AC。 又因為AB1平面B1AC, 所以BC1⊥AB1。
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=lnx+a(1-x),問:(1)討論f(x) 的單調(diào)性;(2)當(dāng) f(x)有最大值,且最大值大于2a-2 時,求a的取值范圍.
(1)(I)討論f(x) 的單調(diào)性;
(2)(II)當(dāng) f(x)有最大值,且最大值大于2a-2 時,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·四川)如圖,橢圓E:的離心率是,點P(0,1)在短軸CD上, 且.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點.是否存在常數(shù)λ , 使得為定值?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·陜西)設(shè)fn(x)=x+x2+x...+xn-1, nN, n≥2。
(1)fn'(2)
(2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個零點(記為an), 且0<an-<()n.
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【題目】(2015·陜西)如圖,橢圓E:(a>b>0)經(jīng)過點A(0,-1),且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)經(jīng)過點(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點P,Q(均異于點A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·湖南)在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位:分鐘)如圖I所示
若將運動員按成績由好到差編為1~35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)為( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若,m 是兩條不同的直線,m 垂直于平面 ,則“ ”是“" 的 ( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分15分)某工廠某種航空產(chǎn)品的年固定成本為萬元,每生產(chǎn)件,需另投入成本為,當(dāng)年產(chǎn)量不足件時,(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于件時,(萬元).每件商品售價為萬元.通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·湖北)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
在如圖所示的陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD底面ABCD,且PD=CD,點E是BC的中點,連接DE,BD,BE
(I)證明:DE底面PBC,試判斷四面體EBCD是否為鱉臑. 若是,寫出其四個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;
(Ⅱ)記陽馬的體積為,四面體的體積為,求的值.
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