如圖,平面EFGH分別平行于CD、AB,E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上,并且CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求證:四邊形EFGH是矩形;

(2)點(diǎn)E在什么位置時(shí),矩形EFGH的面積最大?

(1)證明:∵CD∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BCD=EF,

∴CD∥EF.

同理,HG∥CD,

∴EF∥HG.

同理,HE∥GF,

∴四邊形EFGH為平行四邊形.

∵CD∥EF,HE∥AB,

∴∠HEF為AB和CD所成的角.

∵CD⊥AB,

∴HE⊥EF.

∴四邊形EFGH為矩形.

(2)解析:由(1)可知在△BCD中,EF∥CD,

設(shè)DE=m,EB=n,則.

∴EF=a.

同理,HE=b.

∵四邊形EFGH為矩形,

∴S矩形EFGH=HE·EF=.

∵m+n≥,

∴(m+n)2≥4mn.

∴(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取“=”，即E為BD的中點(diǎn)時(shí)“=”成立）.

∴當(dāng)E為BD的中點(diǎn)時(shí),(S矩形EFGH)max=ab.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

6、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件
M∈FH
時(shí)，有MN∥平面B1BDD1．

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某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示，墩的上部分是正四棱柱P-EFGH，下半部分是長方體ABCD-EFGH，圖2，圖3分別是該標(biāo)識(shí)墩的正（主）視圖和俯視圖．

（1）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積；
（2）證明：直線BD⊥平面PEG．

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如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，且AB=AD，BC=DC．
（1）求證：BD∥平面EFGH；
（2）求證：四邊形EFGH是矩形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，C1D1，D1D，CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若MN∥平面A1BD，則點(diǎn)M軌跡的長度是
2
2
a
2
2
a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四面體ABCD的四個(gè)面均為銳角三角形，EFGH分別是邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，BD||平面EFGH，且EH=FG．
（1）求證：HG||平面ABC
（2）請?jiān)谄矫鍭BD內(nèi)過點(diǎn)E做一條線段垂直于AC，并給出證明．

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