【題目】借助計算機(器)作某些分段函數(shù)圖象時,分段函數(shù)的表示有時可以利用函數(shù),例如要表示分段函數(shù)g(x)=總可以將g(x)表示為g(x)=xh(x-2)+(-x)h(2-x).

(1)設(shè)f(x)=(x2-2x+3)h(x-1)+(1-x2)h(1-x),請把函數(shù)f(x)寫成分段函數(shù)的形式;

(2)已知G(x)=[(3a-1)x+4a]h(1-x)+logaxh(x-1)是R上的減函數(shù),求a的取值范圍;

(3)設(shè)F(x)=(x2+x-a+1)h(x-a)+(x2-x+a+1)h(a-x),求函數(shù)F(x)的最小值.

【答案】(1)f(x)=; (2)≤a<; (3)當(dāng)a≤-時,最小值為-a+;當(dāng)a≥時,最小值為為a+;當(dāng)-<a<時,最小值為F(a)=a2+1.

【解析】

(1)分當(dāng)x>1、當(dāng)x=1和當(dāng)x<13種情況加以討論,分別根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則代入,可得fx)相應(yīng)范圍內(nèi)的表達(dá)式,最后綜合可得函數(shù)fx)寫成分段函數(shù)的形式;

(2)運用分段函數(shù)形式表示Gx),再由一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得a的范圍;

(3)由題意,討論xa,xa,xa,求得Fx)的解析式,再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),分a、aa4種情況進(jìn)行討論,最后綜合可得Fx)的最小值.

(1)當(dāng)x>1時,x-1>0,1-x<0,可得f(x)=(x2-2x+3)+0(1-x2)=x2-2x+3;

當(dāng)x=1時,f(x)=2;

當(dāng)x<1時,x-1<0,1-x>0,可得f(x)=1-x2

即有f(x)=;

(2)G(x)=[(3a-1)x+4a]h(1-x)+logaxh(x-1)

=,

由y=G(x)是R上的減函數(shù),

可得,

解得≤a<;

(3)F(x)=(x2+x-a+1)h(x-a)+(x2-x+a+1)h(a-x),

當(dāng)x>a時,x-a>0,可得F(x)=x2+x-a+1;

若a≥-,可得F(x)在x>a遞增,可得F(x)>F(a)=a2+1;

若a<-,可得F(x)的最小值為F(-)=-a;

當(dāng)x=a時,可得F(x)=2(a2+1);

當(dāng)x<a時,x-a<0,a-x>0,則F(x)=x2-x+a+1.

若a≥,可得F(x)在x<a的最小值為F()=a+;

若a<,可得F(x)在x<a遞減,即有F(x)>F(a)=a2+1.

①當(dāng)a≥時,F(xiàn)(x)在區(qū)間(-∞,-)上單調(diào)遞減,

在區(qū)間(-,a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增,

可得F(-)為最小值,且為-+a+1=a+

②當(dāng)-<a<時,F(xiàn)(x)在區(qū)間(-∞,a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,+∞)上單調(diào)遞增.

F(x)的最小值為F(a)=a2+1;

③當(dāng)a≤-時,在區(qū)間(-∞,a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,-)上單調(diào)遞減,

在區(qū)間(-,+∞)上單調(diào)遞增.

所以F(x)的最小值為F(-)=-a+;

綜上所述,得當(dāng)a≤-時,F(xiàn)(x)的最小值為-a+;

當(dāng)a≥時,F(xiàn)(x)的最小值為為a+;

當(dāng)-<a<時,F(xiàn)(x)的最小值為F(a)=a2+1.

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