Question

設(shè)g(x)=px-

q

x

-2f(x)，其中f（x）=lnx，且g(e)=qe-

p

e

-2．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求p與q的關(guān)系；
（Ⅱ）若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)g（x）的解析式，表示出g（e），再根據(jù)g(e)=qe-

p

e

-2，列出方程，即可得到p與q的關(guān)系；
（II）根據(jù)題意，可知g′（x）≥0或g′（x）≤0在定義域內(nèi)恒成立，轉(zhuǎn)化成h（x）=px²-2x+p≥0或h（x）=px²-2x+p≤0恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解，即可得到p的取值范圍．

解答：解：（I）由題意知，g(x)=px-

q

x

-2lnx，
∵g(e)=qe-

p

e

-2，
∴pe-

q

e

-2=qe-

p

e

-2，
∴(p-q)e+(p-q)

1

e

=0，即(p-q)(e+

1

e

)=0，
而e+

1

e

≠0，
∴p與q的關(guān)系為p=q；
（II）由（I）知，g(x)=px-

p

x

-2lnx，
∴g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，
令h（x）=px²-2x+p，
∵g（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
∴h（x）≥0或h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
①當(dāng)p=0時(shí)，h（x）=-2x，
∵x＞0，則h（x）＜0，
∴g′(x)=-

2x

x2

＜0，
∴g（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞減，
故p=0適合題意；
②當(dāng)p＞0時(shí)，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=

1

p

∈（0，+∞），
∴h(x)min=p-

1

p

．
∴p-

1

p

≥0，即p≥1時(shí)，h（x）≥0，
∴g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增，
故p≥1適合題意；
③當(dāng)p＜0時(shí)，h（x）=px²-2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸為x=

1

p

∉（0，+∞），
∴h（0）≤0，即p≤0時(shí)，h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
故p＜0適合題意．
綜合①②③，p的取值范圍為p≥1或p≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)著導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．已知函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常會(huì)利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化成恒成立問題進(jìn)行處理．屬于中檔題．