Question

已知f(x)=

1

3

ax3-a2x，f(x)的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x)=

4x

3x2+3

，g(x)的定義域?yàn)閇0，2]．
（1）設(shè)a≠0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求g（x）的值域；
（3）設(shè)a＞0，若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使g（x₁）-f（x₀）=0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)來求單調(diào)區(qū)間即可；
（2）先求出x=0時，g（x）=0；再結(jié)合基本不得呢公式求出其他部分的值域，最后綜合即可．
（3）先把問題轉(zhuǎn)化為[0，

2

3

]⊆A，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的值域，求出其導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)區(qū)間求出最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵f'（x）=ax²-a²，
當(dāng)a＞0時，增區(qū)間為（-∞，-

a

）和（

a

，+∞），減區(qū)間為（-

a

，

a

）；
當(dāng)a＜0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減．
（2）g（x）=

4x

3x2+3

，x∈[0，2]，x=0時，g（x）=0．
0＜x≤2時，g（x）=

4

3

•

1

x+ 1 x

≤

4

3

•

1

2 x• 1 x

=

4

3

•

1

2

=

2

3

，且g（x）＞0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時上式取等號，即0＜g（x）≤

2

3

．
綜上，g（x）的值域?yàn)閇0，

2

3

]．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域是A，
若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]使g（x₁）-f（x₀）=0，
∴[0，

2

3

]⊆A
當(dāng)a＞0由f'（x）=ax²-a²=a（x-

a

）（x+

a

）
令f'（x）=0得x=

a

或x=-

a

（舍去）．
0＜

a

＜2時，x，f'（x），f（x）的變化如表，

∴f（0）=0，f（

a

）＜0，
∴f（2）=

8

3

a-2a²≥

2

3

解得

1

3

≤a≤1．
當(dāng)

a

≥2時，f'（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減．
∴f（0）=0，f（2）=

8

3

a-2a²＜0，
∴當(dāng)x∈[0，2]時，不滿足[0，

2

3

]⊆A．
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

3

，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用以及利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值以及單調(diào)區(qū)間．在利用基本不等式解題時，一定要注意基本不等式使用的條件：一正，二定，三相等．