已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產千件需另投入2.7萬元,設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)滿足:(1)當0<x≤10時銷售收入與生產服裝的平方成一次關系,x=3千件時銷售收入為10.5萬元;x=9千件時銷售收入為8.1萬元.(2)當x>10時銷售收入與生產服裝的關系式為R(x)=
108
x
-
1000
3x2

(1)寫出年利潤W(萬元)關于年出品x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產量為多少千件時,該公式在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大?
分析:(1)先根據(jù)當0<x≤10時銷售收入與生產服裝的平方成一次關系,x=3千件時銷售收入為10.5萬元;x=9千件時銷售收入為8.1萬元,求出當0<x≤10時銷售收入與生產服裝的關系,再由年利潤W=年產量x×每千件的銷售收入為R(x)-成本.我們易得年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)由(1)的解析式,我們求出各段上的最大值,即利潤的最大值,然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者,即可得到結果.
解答:解:(1)∵當0<x≤10時銷售收入與生產服裝的平方成一次關系
∴可設R(x)=kx2+b
∵x=3千件時銷售收入為10.5萬元;x=9千件時銷售收入為8.1萬元
10.5=9k+b
8.1=81k+b

∴b=10.8,k=-
1
30

∴當0<x≤10時,銷售收入與生產服裝的關系式為R(x)=-
1
30
x2+10.8

∴0<x≤10時,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-
x3
30
-10;
當x>10時,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-
1000
3x
-2.7x.
∴W=
8.1x-
x3
30
-10 ,(0<x≤10)
98-
1000
3x
-2.7x ,(x>10)

(2)①當0<x<10時,由W'=8.1-
x2
10
=0,得x=9,
且當x∈(0,9)時,W'>0;當x∈(9,10)時,W'<0,
∴當x=9時,W取最大值,且Wmax=8.1×9-
1
30
×93-10=38.6

②當x>10時,W=98-(
1000
3x
+2.7x)≤98-2
1000
3x
•2.7x
=38

當且僅當
1000
3x
=2.7x

即x=
100
9
時,W=38,
故當x=
100
9
時,W取最大值38.
綜合①②知當x=9時,W取最大值38.6萬元,故當年產量為9千件時,該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大.
點評:本題考查的知識點是分段函數(shù)及函數(shù)的最值,分段函數(shù)分段處理,這是研究分段函數(shù)圖象和性質最核心的理念,具體做法是:分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集,分段函數(shù)的奇偶性、單調性要在各段上分別論證;分段函數(shù)的最大值,是各段上最大值中的最大者.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知某公司生產的品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產1萬件,需要另投入1.9萬元.設R(x)(單位:萬元)為銷售收入,根據(jù)市場調查,得到
R(x)=
10x-
1
30
x3,0≤x≤10
200
3
,x>10
,其中x是年產量(單位:萬件).
(Ⅰ)寫出年利潤W關于年產量x的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)年產量x為多少時,該公司在這一品牌的生產中所獲得的年利潤最大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題滿分15分)  已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產千件需另投入2.7萬元,設該公司年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為Rx)萬元,且(1)寫出年利潤W(萬元)關于年產品x(千件)的函數(shù)解析式;(2)年產量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大?(注:年利潤=年銷售收入-年總成本)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2014屆福建省高二下學期5月月考文科數(shù)學卷(解析版) 題型:解答題

已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產千件需另投入2.7萬元,設該公司年內共生產該品牌服裝千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為萬元,且

(1)寫出年利潤(萬元)關于年產品(千件)的函數(shù)解析式;

(2)年產量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大?

(注:年利潤=年銷售收入-年總成本)

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年四川省成都市高三一診模擬文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿分12分)已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產一千件,需要另投入2.7萬元.設該公司年內共生產該品牌服裝千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為萬元,且.

(I)寫出年利潤(萬元)關于年產量(千件)的函數(shù)關系式;

(Ⅱ)年生產量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大?

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案