Question

（14分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與2的等差中項(xiàng)，

等差數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上．

⑴求和的值；

⑵求數(shù)列的通項(xiàng)和；

⑶ 設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

 

Answer 1

【答案】

（1）a₂=4   ；   （2b_n=2n-1；   （3）T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6     

【解析】本試題主要是考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解哦數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。

（1） a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)

∴S_n=2a_n-2             ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2

進(jìn)而得到第二項(xiàng)的值。對于又S_n—S_n-1=a_n，

    ∴a_n=2a_n-2a_n-1∴，即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)據(jù)列

以及∵點(diǎn)P(b_n，b_n+1)在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）由上可知，c_n=(2n-1)2ⁿ

利用錯(cuò)位相減法可知得到數(shù)列的和的求解。

解：（1）∵a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)

    ∴S_n=2a_n-2         ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2

    a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4          ……3分

   （2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，

    又S_n—S_n-1=a_n，

    ∴a_n=2a_n-2a_n-1，

    ∵a_n≠0，

    ∴，即數(shù)列{a_n}是等比樹立∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ

    ∵點(diǎn)P(b_n，b_n+1)在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，

    ∴b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，             ……8分

   （3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ

    ∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，

    ∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹

    因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

    即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，

    ∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6                                                  ……14分