【題目】已知a≥2,不等式logax+loga[(a+1)ak-1-x]≥2k-1的解集為A,其中a∈N*,k∈N.

(1)A.

(2)f(k)表示A中自然數(shù)個數(shù),求和Sn=f(1)+f(2)+…+f(n).

(3)a=2,比較Snn2+n的大小,并證明你的結論.

【答案】(1);(2);(3)見解析

【解析】分析:(1)利用對數(shù)函數(shù)的單調性,轉化為不等式組,解之即可;

(2)由(1)明確f(k)表示A中自然數(shù)個數(shù),累加求和即可;

(3)先用特例猜想二者大小,然后用數(shù)學歸納法證明.

詳解:(1)不等式同解于

,

,得x2-(a+1)ak-1x+a2k-1≤0.

∵a≥2,∴ak-1<ak.

∴ak-1≤x≤ak,且該式滿足①,②.

∴A={x|ak-1≤x≤ak}.

(2)由題意知f(k)=ak-ak-1+1,Sn=(a-a0+1)+(a2-a+1)+…+(an-an-1+1)=an+n-1.

(3)當a=2時,Sn=2n+n-1,Sn-(n2+n)=2n-n2-1.

當n=1時,S1=12+1;

當n=2時,S2<22+2;

當n=3時,S3<32+3;

當n=4時,S4<42+4;

當n=5時,S5>52+5.

猜想當n≥5(nN)時,Sn>n2+n.

下面用數(shù)學歸納法證明:

當n=5時,已驗證.

假設當n=k(k≥5)時,Sk>k2+k成立,即2k>k2+1成立,則當n=k+1時,Sk+1-[(k+1)2+(k+1)]=2k+1-(k+1)2-1=2×2k-k2-2k-2>2(k2+1)-k2-2k-2=k2-2k=k(k-2)>0,即Sk+1>[(k+1)2+(k+1)],∴當n=k+1時結論成立.

根據(jù)①②可知,對任何n≥5(n∈N*),都有Sn>n2+n成立.

綜上所述,當n=1時,Sn=n2+n;當n=2,3,4時,Sn<n2+n;當n≥5(n∈N*)時,Sn>n2+n.

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瓶啤酒的情況

且圖表示的函數(shù)模型,則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時間才可以駕車(時間以整小時計算)?(參考數(shù)據(jù):,

(  )

駕駛行為類型

閥值

飲酒后駕車

,

醉酒后駕車

車輛駕車人員血液酒精含量閥值

A.B.C.D.

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送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

20

40

20

10

10

乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表

送餐單數(shù)

38

39

40

41

42

天數(shù)

10

20

20

40

10

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