Question

已知是偶函數(shù).

(1)求的值；

(2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖像與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)；

(3)設(shè)若函數(shù)的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).

【解析】

試題分析：(1)由，并進(jìn)行檢驗(yàn)；(2)原問(wèn)題等價(jià)于證明方程組

最多只有一組解，即證方程最多只有一個(gè)實(shí)根，利用反證法證明該方程不可能有兩個(gè)實(shí)根，所以原命題得證；(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程:只有唯一解，令，則可化為關(guān)于的方程：只有唯一正根，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情形，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，利用二次函數(shù)根的判定方法，最終可以得到所求實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：【解析】
(1)由 經(jīng)檢驗(yàn)的滿足題意； 2分

(2)證明:即證方程組最多只有一組解，

即證方程最多只有一個(gè)實(shí)根. 4分

下面用反證法證明:

假設(shè)上述方程有兩個(gè)不同的解則有：

.

但時(shí)，不成立.

故假設(shè)不成立.從而結(jié)論成立. 7分

(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程:只有唯一解. 9分

令，則可化為關(guān)于的方程：只有唯一正根. 10分

若,則上述方程變?yōu)?/span>,無(wú)解.故 11分

若二次方程(*)兩根異號(hào),即.此時(shí)方程(*)有唯一正根,滿足條件； 12分

若二次方程(*)兩根相等且為正,則. 13分

故的取值范圍是:. 14分

考點(diǎn)：偶函數(shù)，函數(shù)與方程，二次函數(shù).