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如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=,AB=a,在△ABC內作一系列的正方形,求所有這些正方形的面積和S.

分析：這個題目的關鍵點是每一個小三角形都相似,據此可以寫出Sn與an的關系式,經過化簡,再求極限.

解： 設第n個正方形的邊長為an,則由三角形相似,可得(其中Sn=a1+a2+…+an).

因為AB=a,tanC=,所以BC=2a.

于是即Sn=2a-2an.

當n≥2時,有an=Sn-Sn-1=-2an+2an-1,

即3an=2an-1,

因為tanC=,所以AB=a=a1+a1.

所以a12=

所以數列{an2}是首項為,公比為的無窮等比數列，

S=(S1+S2+…+Sn)=

點評：解決與無窮數列各項和有關的應用問題，關鍵是由題意找準首項、公比，求出前n項和，再求極限.對于形如qn的極限，當|q|<1時，可直接使用qn=0這一運算法則；當|q|>1時，可將分子、分母同除以增長“最快”的項,先轉化形式,再求極限.

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC上一點，∠DAC=30°，BD=2，AB=2
3
，則AC的長為（　�。�
A、2
2
B、3
C、
3
D、
3
2
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直徑AC的長度．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于點P．
（1）若AE=CD，點M為BC的中點，求證：直線MP∥平面EAB
（2）若AE=2，CD=1，求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

8．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
．DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設
DM
DN
=λ，試確定實數λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（　�。�
A、（0，
3
]
B、（
2
2
，2]
C、（
3
，2
3
]
D、（2，4]

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