(2012•黃州區(qū)模擬)已知向量
m
=(cos
x
2
,-1),
n
=(
3
sin
x
2
,cos2
x
2
),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
+1.
(1)若x∈[0,
π
2
],f(x)=
11
10
,求cosx的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足2bcosA≤2c-
3
a,求f(x)的取值范圍.
分析:(1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式以及三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為sin(x-
π
6
)+1,由f(x)=
11
10
,求得sin(x-
π
6
)=
3
5
.再由x∈[0,
π
2
],求得cos(x-
π
6
)=
4
5

再由cosx=cos[(x-
π
6
)+
π
6
],利用兩角和差的余弦公式求得結(jié)果.
(2)在△ABC中,由條件2bcosA≤2c-
3
a 可得2sinAcosB≥
3
sinA,故 cosB≥
3
2
,B∈(0,
π
6
],由此求得 f(B)的取值范圍.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=
m
n
+1=
3
sin
x
2
 cos
x
2
-cos2
x
2
=
3
2
sinx
-
1+cosx
2
+1=sin(x-
π
6
)+1.…(3分)
∵f(x)=
11
10
,∴sin(x-
π
6
)=
3
5
;  又∵x∈[0,
π
2
],∴x-
π
6
∈[-
π
6
π
3
],故 cos(x-
π
6
)=
4
5

∴cosx=cos[(x-
π
6
)+
π
6
]=cos(x-
π
6
)cos
π
6
-sin(x-
π
6
)sin
π
6
=
4
3
-3
10
. …(6分)
(2)在△ABC中,由2bcosA≤2c-
3
a,可得 2sinBcosA≤2sinC-
3
sinA,∴2sinBcosA≤2sin(A+B)-
3
sinA,
∴2sinBcosA≤2(sinAcosB+cosAsinB)-
3
sinA,2sinAcosB≥
3
sinA,∴cosB≥
3
2
,∴B∈(0,
π
6
].…(10分)
∴sin(B-
π
6
)∈(-
1
2
,0],即 f(B)=sin(B-
π
6
)+
1
2
,∴f(B)∈(0,
1
2
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用,兩角和差的正弦、余弦公式,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
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3+
2
+
3
3+
2
+
3

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|log
x
4
-1|-2,|x|≤1
1
1+x
1
3
,|x|>1
,則f(f(27))=( 。

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