Question

已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，2），且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線與直線x-5y+1=0垂直．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=-3x2+2x+b，
由題意得：即，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/523683.png' />
當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f′（x）=-x（3x-2），
解f′（x）＞0得解f′（x）＜0得
∴f（x）在（-1，0）和（，1）上單減，在（0，）上單增，
從而f（x）在x=處取得極大值f（）=
又∵f（-1）=2，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f（x）=alnx，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[1，e]單調(diào)遞增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．
∴a≥2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；
當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．
分析：（I）求出x＜1時(shí)的導(dǎo)函數(shù)，令f（-1）=2，f′（x）=-5，解方程組，求出b，c的值．
（II）分段求函數(shù)的最大值，利用導(dǎo)數(shù)先求出-1≤x＜1時(shí)的最大值；再通過(guò)對(duì)a的討論，判斷出1≤x≤e時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，再?gòu)膬啥沃械淖畲笾颠x出最大值．
點(diǎn)評(píng)：曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；求分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí)應(yīng)該分段去求．