Question

如圖，正三棱柱ABC-A′B′C′中，BC=2，CC′=

2

．
（1）求證：A′C⊥BC′；
（2）請在線段CC′上確定一點P，使直線A′P與平面A′BC所成角的正弦等于

3

5

．

Answer 1

分析：（1）取B′C′的中點E，以BC中點O為坐標(biāo)原點，OC，OE，OA分別為x，y，z軸．用坐標(biāo)表示向量，利用數(shù)量積為0得證；
（2）設(shè)P（1，a，0），則

A/P

=(1，a-

2

，-

3

)，再設(shè)平面A′BC的法向量，進(jìn)而可用夾角公式可求．

解答：證明：（1）由題意，取B′C′的中點E，以BC中點O為坐標(biāo)原點，OC，OE，OA分別為x，y，z軸．
則A/(0，

2

，

3

)，C(1，0，0)，B(-1，0，0)，C/(1，

2

，0)
∴

A/C

=(1，-

2

，-

3

)，

BC/

=(2，

2

，0)
∴

A/C

•

BC/

=0
∴A′C⊥BC′；
（2）設(shè)P（1，a，0），則

A/P

=(1，a-

2

，-

3

)
設(shè)平面A′BC的法向量為

n

=(x，y，z)
∵

n • BC =0 n • A/B =0

，∴

n

=(0，

3

，-

2

)
∴cos＜

n

，

A/P

＞=

3

5

∴a=

5 2 - 26

4

即C′P=

5 2 - 26

4

．

點評：本題以正三棱柱為載體，考查線線垂直，考查線面角，關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．