Question

【題目】已知F1，F2為橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|＝2，點(diǎn)在E上.

（1）求E的方程；

（2）直線l與以E的短軸為直徑的圓相切，l與E交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷O與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）O在以AB為直徑的圓外，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)，點(diǎn)在上，結(jié)合，即可得到；

（2）分斜率不存在和斜率存在兩種情況進(jìn)行討論.斜率不存在時(shí)，直接通過與半徑比較即可；斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出,和，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出為銳角，進(jìn)而判斷出與以為直徑的圓的位置關(guān)系.

（1），點(diǎn)在上，

可得，即，，解得，

則橢圓的方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為和，

若，可得與橢圓的交點(diǎn)為，

以為直徑的圓心為，半徑為，，即在圓外；

同理可得時(shí)，也有在圓外；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

則到的距離為，即，

聯(lián)立橢圓方程和直線l的方程可得，

,

設(shè)，，即有,，

，

即，則為銳角，故在以為直徑的圓外.

綜上可得，在以為直徑的圓外.