【答案】
分析:(1)由點(diǎn)拋物線焦點(diǎn)F是橢圓的一個頂點(diǎn)可得b=1,由橢圓離心率e=
得
=
,橢圓方程可求.
(2)要證明AB⊥MF,只需證
=0即可.設(shè)直線l的方程為y=kx+,1與雙曲線方程聯(lián)立,消去y,得到關(guān)于A,B點(diǎn)橫坐標(biāo)的一元二次方程,求兩根的和與積,再用導(dǎo)數(shù)求過A,B點(diǎn)的切線方程,求出切點(diǎn)坐標(biāo),計算
即可.
(3)先假設(shè)橢圓E上存在點(diǎn)M′,經(jīng)過點(diǎn)M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B(A′、B′為切點(diǎn)),直線A′B′過點(diǎn)F.
再根據(jù)假設(shè)與已知條件去求M′坐標(biāo),如果存在,用所求結(jié)果求拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積.
解答:解:(1)設(shè)橢圓E的方程為
,半焦距為c.
由已知條件,F(xiàn)(0,1),∴b=1,
=
,a
2=b
2+c
2,
解得a=2,b=1.所以橢E的方程為
.
(2)顯然直線l的斜率存在,否則直線l與拋物線C只有一個交點(diǎn),不合題意,
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,A(x
1,y
1)B(x
2,y
2)(x
1≠x
2)
與拋物線方程聯(lián)立,消去y,并整理得,x
2-4kx-4=0
∴x
1x
2=-4.
∵拋物線的方程為y=
x
2,求導(dǎo)得y
′=
x,
∴過拋物線上A,B兩點(diǎn)的切線方程分別是
y-y
1=
x
1(x-x
1),y-y
2=
x
2(x-x2)
即y=
x
1x-
,y=
x
2x-
x
22解得兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(
,-1)
∴
•
=0
∴AB⊥MF.
(3)假設(shè)存在點(diǎn)M′滿足題意,由(2)知點(diǎn)M′必在直線y=-1上,又直線y=-1與橢圓有唯一交點(diǎn),故M′的坐標(biāo)為(0.-1),
設(shè)過點(diǎn)M′且與拋物線C相切的切線方程為y-y
=
x
(x-x
):,其中點(diǎn)(x
,y
)為切點(diǎn).
令x=0,y=-1得,-1-
x
2=
x
(0-x
),解得x
=2或x
=-2,
故不妨取A′(-2,1)B′(2,1),即直線A′B′過點(diǎn)F.
綜上所述,橢圓E上存在一點(diǎn)M′(0,-1),經(jīng)過點(diǎn)M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B′
(A′、B′為切點(diǎn)),能使直線A′B′過點(diǎn)F.
此時,兩切線的方程分別為y=-x-1和y=x-1.
拋物線C與切線M′A′、M′B′所圍成圖形的面積為
=
=
.
點(diǎn)評:本題考查了拋物線,橢圓與直線導(dǎo)數(shù)等的綜合應(yīng)用,屬于較難題型,做題適應(yīng)認(rèn)真分析,找到他們的聯(lián)系點(diǎn).