Question

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（  ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

D

解析試題分析：解：

①當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P；②當(dāng)△F₁F₂P構(gòu)成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時(shí)，以F₂P作為等腰三角形的底邊為例，∵F₁F₂=F₁P，∴點(diǎn)P在以F₁為圓心，半徑為焦距2c的圓上，因此，當(dāng)以F₁為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點(diǎn)時(shí)，存在2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P，此時(shí)a-c＜2c，解得a＜3c，所以離心率e＞當(dāng)e=時(shí)，△F₁F₂P是等邊三角形，與①中的三角形重復(fù)，故e≠同理，當(dāng)F₁P為等腰三角形的底邊時(shí)，在e＞ 且e≠ 時(shí)也存在2個(gè)滿足條件的等腰△F₁F₂P，這樣，總共有6個(gè)不同的點(diǎn)P使得△F₁F₂P為等腰三角形，綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈，故選D.
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)
點(diǎn)評：本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形中，共有6個(gè)不同點(diǎn)P使得△F₁F₂P為等腰三角形，求橢圓離心率e的取值范圍．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題