Question

【題目】（本小題滿(mǎn)分10分）設(shè)個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足（且）．

（1）當(dāng)時(shí)，證明：；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式也成立，請(qǐng)你將其推廣到（且）個(gè)正數(shù)的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析，（2）（且）．

【解析】

試題分析：（1）由于與積為，所以利用基本不等式進(jìn)行證明：，，，三式相加得，即（2）本題結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，易于歸納出，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)的難點(diǎn)在于明確時(shí)式子與式子關(guān)系：其差為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，這可利用作差，因式分解得證.

試題解析：（1）證明：因?yàn)?/span>（且）均為正實(shí)數(shù)，

左—右=

=0，

所以，原不等式成立． 4分

（2）歸納的不等式為：

（且）． 5分

記，

當(dāng)（）時(shí)，由（1）知，不等式成立；

假設(shè)當(dāng)（且）時(shí)，不等式成立，即

．

則當(dāng)時(shí)，

= 7分

=

=，

因?yàn)?/span>，，，

所以，

所以當(dāng)，不等式成立． 9分

綜上所述，不等式（且）成立． 10分