【題目】如圖,將等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折,使二面角的大小為,翻折后的中點(diǎn)為.
(Ⅰ)證明平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)等腰直角三角形沿斜邊上的高翻折,則, ,又是的中點(diǎn),易得,,再利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明.
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),易知二面角的平面角是,則,然后分別求得平面的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量,代入公式求解..
(Ⅰ)∵折疊前,是斜邊上的高,
∴是的中點(diǎn),
∴,又因?yàn)檎郫B后是的中點(diǎn),
∴,折疊后,
∴,,
∴平面;
(Ⅱ)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
不妨設(shè),易知二面角的平面角是,
則,
∴,,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
得,即,令,
得,
設(shè)平面的一個(gè)法向量,
得,即,令,
得
∴.
所以二面角的余弦值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)籠子里關(guān)著只貓,其中有只白貓,只黑貓.把籠門(mén)打開(kāi)一個(gè)小口,使得每次只能鉆出只貓.貓爭(zhēng)先恐后地往外鉆.如果只貓都鉆出了籠子,以表示只白貓被只黑貓所隔成的段數(shù).例如,在出籠順序?yàn)椤啊酢觥酢酢酢酢觥酢酢觥敝,則.
(1)求三只黑貓挨在一起出籠的概率;
(2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:某快遞小哥從A地出發(fā),沿小路以平均時(shí)速20公里/小時(shí),送快件到C處,已知(公里),,,是等腰三角形,.
(1)試問(wèn),快遞小哥能否在50分鐘內(nèi)將快件送到C處?
(2)快遞小哥出發(fā)15分鐘后,快遞公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問(wèn)題,由于通訊不暢,公司只能派車(chē)沿大路追趕,若汽車(chē)平均時(shí)速60公里/小時(shí),問(wèn),汽車(chē)能否先到達(dá)C處?
參考值:,, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為正方形,且平面平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).
(1)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面?并說(shuō)明理由;
(2)若,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,正方形邊長(zhǎng)為,將沿翻折到的位置,使得二面角的大小為.
(1)證明:平面平面;
(2)點(diǎn)在直線(xiàn)上,且直線(xiàn)與平面所成角正弦值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,分別是棱的中點(diǎn),是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若直線(xiàn)與平面不存在公共點(diǎn),以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是( )
①三棱錐的體積為定值;
②的面積的最小值為;
③平面;
④經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面把正方體分成體積相等的兩部分.
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在底面是菱形的四棱錐中,,點(diǎn)在上,且,面面.
(1)證明:;
(2)在棱上是否存在一點(diǎn),使平面?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)則x∈[﹣1,e]時(shí),f(x)的最小值為_____;設(shè)g(x)=[f(x)]2﹣f(x)+a若函數(shù)g(x)有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,方程C:表示的曲線(xiàn)被稱(chēng)作“四葉玫瑰線(xiàn)”(如圖)
(1)求以極點(diǎn)為圓心的單位圓與四葉玫瑰線(xiàn)交點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo);
(2)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合,x軸正半軸與極軸重合.求直線(xiàn)l:上的點(diǎn)M與四葉攻瑰線(xiàn)上的點(diǎn)N的距離的最小值.
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