【題目】已知函數(shù),當時,恒有時,

求證: 是奇函數(shù);

,試求在區(qū)間上的最值;

)是否存在,使對于任意恒成立?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ) .

【解析】試題分析:(1)x=y=0,求出 f(0),令y=-x,可以得出f(-x)f(x)的關系,從而判斷出函數(shù)的奇偶性;(2)先判斷函數(shù)的單調(diào)性,取值 ,賦值 ,得出,根據(jù),利用已知當時, 比較出的大小,得出函數(shù)為增函數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最值;(3)根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù),轉(zhuǎn)化不等式,利用換元法簡化不等式,利用極值原理求出m 的范圍.

試題解析:

,則,

.令,則,

,即為奇函數(shù);

任取,且

,∴

∵當時, ,且,∴,即,

為增函數(shù),

∴當時,函數(shù)有最小值,

時,函數(shù)有最大值, ;

∵函數(shù)為奇函數(shù),

∴不等式

可化為,

又∵為增函數(shù),∴,

,則,

問題轉(zhuǎn)化為上恒成立,

對任意恒成立,

,只需,

,

∴當時, ,則

的取值范圍是

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