Question

(本小題滿分14分)

已知函數(shù).（）

（Ⅰ）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，，試問：導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)是否有零點(diǎn)，并說明理由.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離不小于，求的取值范圍.

Answer 1

解（I）因?yàn)?sub>，又，

則   （1分）

因?yàn)閤₁，x₃是方程的兩根，則

，，.即        （3分）

從而：，ks*5u

所以.  ks*5u

令    解得：                               （4分）

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是 。     

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞減區(qū)間是（6分）

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，，所以，即.

因?yàn)?sub>，所以，即.        （7分）

于是，，. (8分）

（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，

則在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).         （9分）

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，

則在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn).

故導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).           （10分）

（Ⅲ）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則，.

所以.

由已知，，則，即.

所以，即或.                （12分）ks*5u

又，，所以，即.

因?yàn)?sub>，所以.  ks*5u

綜上分析，的取值范圍是.                           （14分）