Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx-2x，g（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）法一：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$a＞\frac{1-2x}{x^2}$在（0，+∞）上有解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
法二：問題轉(zhuǎn)化為ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
$f'（x）=\frac{1}{x}-2=\frac{1-2x}{x}$，…（2分）
令f′（x）=0得$x=\frac{1}{2}$，
列表如下：

x	$（0，\frac{1}{2}）$	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，+∞）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值-ln2-1	↘

由表可知f（x）的極大值為$f（\frac{1}{2}）=-ln2-1$，無極小值；…（4分）
（Ⅱ）解法一：∵函數(shù)$h（x）=lnx-2x-\frac{1}{2}a{x^2}（x＞0）$，
∴$h'（x）=\frac{1}{x}-ax-2=-\frac{{a{x^2}+2x-1}}{x}$，…（5分）
∵函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴h'（x）＜0有解，…（6分）
又∵函數(shù)h（x）的定義域為（0，+∞），
∴ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，
∴$a＞\frac{1-2x}{x^2}$在（0，+∞）上有解，…（8分）
即$a＞{（{\frac{1-2x}{x^2}}）_{min}}$，
又∵$\frac{1-2x}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}={（{\frac{1}{x}-1}）^2}-1≥-1$，…（10分）
∴$a＞{（{\frac{1-2x}{x^2}}）_{min}}=-1$，∴a的取值范圍為（-1，+∞）． …（12分）
解法二：∵函數(shù)$h（x）=lnx-2x-\frac{1}{2}a{x^2}（x＞0）$，
∴$h'（x）=\frac{1}{x}-ax-2=-\frac{{a{x^2}+2x-1}}{x}$，…（5分）
∵函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h'（x）＜0有解，…（6分）
又∵函數(shù)h（x）的定義域為（0，+∞），
∴ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，…（7分）
（1）當(dāng)a=0時，顯然符合題意； …（8分）
（2）當(dāng)a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上恒有解； …（9分）
（3）當(dāng)a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，而ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上恒有解，
則$\left\{\begin{array}{l}△=4+4a＞0\\-\frac{1}{a}＞0\end{array}\right.$，解得-1＜a＜0；…（11分）
綜上：a的取值范圍為（-1，+∞）．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．