【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，對一切都成立．

（1）當(dāng)時(shí)，證明數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

【答案】（1）證明詳見解析；；（2）存在，．

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系可得，即可證明數(shù)列是常數(shù)列，再進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）先根據(jù)數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列求得，再證明一般性也成立.

解：（1）①當(dāng)時(shí)，，

則，

即．

∵數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，

∴．

∴，

化簡，得，①

∴當(dāng)時(shí)，，②

②-①，得，

∵當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)上式也成立，

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即．

（2）由題意，令，得；令，得．

要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得．

當(dāng)時(shí)，，且．

當(dāng)時(shí)，，

整理，得，即，

從而，

化簡，得，即．

綜上所述，可得，．

∴時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程；

（2）經(jīng)過的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，試問在直線上是否存在定點(diǎn)，使得直線的斜率之和為直線斜率的倍？若存在，求出定點(diǎn)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的圾坐標(biāo)方，且直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).

（1）求曲線C的普通方程和l的直角坐標(biāo)方程；

（2）若，點(diǎn)滿足，求此時(shí)r的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為不等的正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，我們稱滿足條件“對任意的，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列．

（1）試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，，并給出證明；

（2）已知數(shù)列為“好”數(shù)列．

① 若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

② 若，且對任意給定正整數(shù)（），有成等比數(shù)列，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有，，則當(dāng)的面積最大時(shí)，AC邊上的高為_______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，圓經(jīng)過橢圓的左，右焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得的面積與（為原點(diǎn)）的面積相等？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，設(shè)函數(shù)，．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且滿足？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．

注：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）.

（1）若，且在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；

（2）若，且有三個(gè)不同零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的非正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，滿足，A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）已知點(diǎn)，動(dòng)直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，求過G，P，Q三點(diǎn)的圓在直線上截得的弦長的最小值.

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同步練習(xí)冊答案