在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,且PA⊥平面ABCD.
(1)求證:PC⊥BD;
(2)過直線BD且垂直于直線PC的平面交PC于點(diǎn)E,且三棱錐E-BCD的體積取到最大值.
①求此時四棱錐E-ABCD的高;
②求二面角A-DE-B的正弦值的大。
(1)見解析(2),
【解析】(1)連接AC,因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形,所以BD⊥AC.因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.
又AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.
又PC?平面PAC,所以PC⊥BD.
(2)解 ①設(shè)PA=x,三棱錐E-BCD的底面積為定值,在△PBC中,易知PB=,PC=,
又BC=1,故△PBC直角三角形.又BE⊥PC,得EC=,可求得該三棱錐的高h==.
當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時,三棱錐E-BCD的體積取到最大值,所以h=.
此時四棱錐E-ABCD的高為.
②以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,),易求得CE=CP.
所以=+=,=(0,1,0).
設(shè)平面ADE的法向量n1=(x,y,z),則
即令x=,則n1=(,0,-3),
同理可得平面BDE的法向量n2==(-1,-1,),所以cos〈n1,n2〉==-.所以sin〈n1,n2〉=.所以二面角A-DE-B的正弦值的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練8練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
△ABC中D為BC邊的中點(diǎn),已知=a, =b則在下列向量中與同向的向量是( ).
A. B. C. D.|b|a+|a|b
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練16練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練14練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
已知以點(diǎn)C (t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為原點(diǎn).
(1)求證:△AOB的面積為定值;
(2)設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)P,Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動點(diǎn),求|PB|+|PQ|的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練14練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0,設(shè)該圓中過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積是( ).
A.10 B.20 C.30 D.40
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練13練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E,F且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的是( ).
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱錐A-BEF的體積為定值
D.異面直線AE,BF所成的角為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練12練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
如圖,正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB=EF.
(1)求證:BF∥平面ACE;
(2)求證:BF⊥BD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練訓(xùn)練11練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ).
A. B. C.200 D.240
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題提升訓(xùn)練優(yōu)化重組卷4練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,某幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均為直角三角形,則這個幾何體的表面中,直角三角形個數(shù)為( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
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