Question

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是AB=2，BC=

2

的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點(diǎn)，設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)C且垂直于矩形ABCD所在平面，點(diǎn)F是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)P位于平面ABCD的同側(cè)．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設(shè)二面角F-PB-D的平面角為θ，若θ≥45°，求線段CF長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得：BD⊥PE，PE⊥AB所以PE⊥平面ABCD．所以證明線面垂直一般是證明已知直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求出兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量的一個(gè)知識(shí)表示出向量的夾角，進(jìn)而表示出二面角的平面角再求出線段CF長(zhǎng)的取值范圍．

解答：解：（1）連接EC，∵

BE

BC

=

1

2

=

2

2

=

BC

CD

，∠EBC=∠BCD=90°，
∴△EBC∽△BCD，∴∠ECB=∠BDC．∴BD⊥CE．
又∵PC⊥BD，PC∩CE=C，∴BD⊥平面PEC．∴BD⊥PE．
在正△PAB中，∵E是AB的中點(diǎn)，∴PE⊥AB．
又∵AB∩BD=B，∴PE⊥平面ABCD．
（2））設(shè)CF=t．建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則P(0，0，

3

)，B(1，0，0)，D(-1，

2

，0)，F(1，

2

，t)．

BD

=(-2，

2

，0)，

BP

=(-1，0，

3

)．

BF

=(0，

2

，t)．
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為

n1

=(x1，y1，1)，
則

n1 • BP =0 n • BD =0

?

-x1+ 3 =0 -2x1+ 2 y1=0

?

x1= 3 y1= 6

∴

n1

=(

3

，

6

，1)．
設(shè)平面FPB的一個(gè)法向量為

n1

=(x2，y2，1)，
則

n2 • BP =0 n2 • BF =0

?

-x2+ 3 =0 2 x2+t=0

?

x2= 3 y2=- t 2

∴

n2

=(

3

，-

t

2

，1)．
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|4- 3 t|

10 • 4+ t2 2

．
∵30°≤θ＜45°，∴

1

2

≤sinθ＜

2

2

．∴0＜t≤

3

．
∵θ≥45°，∴cosθ≤

2

2

．
∴

|4- 3 t|

10 • 4+ t2 2

≤

2

2

，化簡(jiǎn)得

1

2

t2-8

3

t-4≤0．
解得0＜t≤8

3

+10

2

，因此，0＜CF≤8

3

+10

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決探索性問(wèn)題與求長(zhǎng)度問(wèn)題最好的方法就是向量法，將其轉(zhuǎn)化為向量的基本運(yùn)算，通過(guò)方程或不等式解決問(wèn)題．