Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，在軸的上方，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為拋物線上異于，的點(diǎn)，直線與分別交拋物線的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，求證：為定值，并求出定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)證明

【解析】

（1）先由題意得到，，根據(jù)的斜率為，求出，即可得出拋物線方程；

（2）先由（1）的結(jié)果，得到點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合題意，求出與，計(jì)算其乘積，即可得出結(jié)論成立.

（1）由題意得：，

因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，且在軸的上方，

所以，

因?yàn)?/span>的斜率為，

所以，整理得：，

即，得，

拋物線的方程為：.

（2）由（1）得：，，淮線方程，

直線的方程：，

由解得或，于是得.

設(shè)點(diǎn)，又題意且,

所以直線：，令，得，

即，

同理可得：，

.