Question

如圖，在三棱錐S—ABC中，SC⊥平面ABC，點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn)，設(shè)
PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°．
（I）求證：；（Ⅱ）求證：平面MAP⊥平面SAC；
（ Ⅲ）求銳二面角M—AB—C的大小的余弦值；

Answer 1

（I）見解析（Ⅱ）見解析（ Ⅲ）

本試題主要是考查了空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn) ∴
又∴
（2）建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.，借助于法向量的垂直問題來證明面面的垂直。
（3）在第二問的基礎(chǔ)上可知得到平面的法向量與法向量的夾角，得到二面角的平面角的大小。
解：（I）∵點(diǎn)P、M分別是SC和SB的中點(diǎn) ∴
又∴
（II）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，     …………………………….2分
又∵P，M是SC、SB的中點(diǎn)
∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，……………………………..5分
（II）如圖以C為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C—xyz.

則

    ………………………9分
設(shè)平面MAB的一個(gè)法向量為，則
由 取z=…………………..11分
取平面ABC的一個(gè)法向量為
則
故二面角M—AB—C的余弦值為…………………….13分