Question

已知a∈R，函數f(x)=

a

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最小的一個就是最小值；
（2）將曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直轉化成方程g'（x₀）=0有實數解，只需研究導函數的最小值即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

x

+lnx-1，
∴f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

令f'（x）=0，得x=a．
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，e]上單調遞增，此時函數f（x）無最小值．
②若0＜a＜e，當x∈（0，a）時，f'（x）＜0，函數f（x）在區(qū)間（0，a）上單調遞減，
當x∈（a，e]時，f'（x）＞0，函數f（x）在區(qū)間（a，e]上單調遞增，
所以當x=a時，函數f（x）取得最小值lna
③若a≥e，則f'（x）≤0，函數f（x）在區(qū)間（0，e]上單調遞減，
所以當x=e時，函數f（x）取得最小值

a

e

．
．綜上可知，當a≤0時，函數f（x）在區(qū)間（0，e]上無最小值；
當0＜a＜e時，函數f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為lna；
當a≥e時，函數f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為

a

e

．
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=

ex

x

+(lnx-1)ex+1=(

1

x

+lnx-1)ex+1．
由（1）可知，當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1．
此時f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為ln1=0，即

1

x

+lnx-1≥0．（10分）
當x₀∈（0，e]，ex0＞0，

1

x0

+lnx0-1≥0，
∴g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)ex0+1≥1＞0．
曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直等價于方程g'（x₀）=0有實數解．（13分）
而g'（x₀）＞0，即方程g'（x₀）=0無實數解．、故不存在x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．

點評：本題主要考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，以及利用導數研究曲線上某點切線方程，屬于中檔題．