Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）記表示中的最小值，若函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，求實的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用分離參數(shù)，并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，并求最值，可得結(jié)果.

（2）利用對的分類討論，可得，然后判斷函數(shù)單調(diào)性以及根據(jù)零點存在性定理，可得結(jié)果.

（1）由，得，

令，

當時，

，，；

當時，

，，，

∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，

，，

∴實數(shù)的取值范圍是

（2） ①由（1） 得當時，，

，

，

函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，符合題意

②當時，

i．若，，

，

故函數(shù)在內(nèi)無零點

ii．若，，，

，

不是函數(shù)的零點；

iii．若時，，

故只考慮函數(shù)在的零點，，

若時，

，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，

，

∴函數(shù)在上恰有一個零點

若時，

， ∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，∴函數(shù)在上無零點，

若時，

，，

∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，

要使在上恰有一個零點， 只需，

．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．