Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）若在區(qū)間內(nèi)存在極大值，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意得在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得到結(jié)果；（2）構(gòu)造函數(shù)，則，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間：和，則可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到極大值，結(jié)合條件和基本不等式即可證明結(jié)論.

（1）由題意得在區(qū)間內(nèi)恒成立，

即在區(qū)間內(nèi)恒成立，

令，則.

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，

所以，所以的取值范圍為；

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則不存在極大值.

當(dāng)時(shí)，，.

，令，則.

令，則，

則易知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

又，，

（易證明），

故存在，使得，

存在，使得，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，

故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即.

由，得，，

由，得，

故，所以.