Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以頂點A為球心，

2 3

3

為半徑作一個球，則球面與正方體的表面相交所得到的曲線的長等于

5 3

6

π

．

Answer 1

分析：球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上；另一類在不過頂點A的三個面上，且均為圓弧，分別求其長度可得結(jié)果．

解答：解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為AE=

2 3

3

，AA₁=1，則∠A1AE=

π

6

．同理∠BAF=

π

6

，所以∠EAF=

π

6

，故弧EF的長為

2 3

3

•

π

6

=

3

9

π，而這樣的弧共有三條．在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，此時，小圓的圓心為B，半徑為

3

3

，∠FBG=

π

2

，所以弧FG的長為

3

3

•

π

2

=

3

6

π．這樣的弧也有三條．
于是，所得的曲線長為3×

3

9

π+3×

3

6

π=

5 3 π

6

．
故答案為：

5 3

6

π

點評：本題為空間幾何體交線問題，找到球面與正方體的表面相交所得到的曲線是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．