【題目】如圖,已知四棱錐的底面為直角梯形, , , ,且, , 是的中點。
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值。
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)利用空間向量證明面面垂直,只需利用兩平面法向量垂直,先根據(jù)題意建立坐標(biāo)系,設(shè)立各點坐標(biāo),利用方程組解出各面法向量,根據(jù)法向量數(shù)量積為零得證(Ⅱ)利用空間向量求二面角,先根據(jù)題意建立坐標(biāo)系,設(shè)立各點坐標(biāo),利用方程組解出各面法向量,根據(jù)法向量數(shù)量積求夾角,再根據(jù)二面角夾角與向量夾角關(guān)系得二面角的余弦值
試題解析:
證明:(Ⅰ)以為坐標(biāo)原點長為單位長度,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則各點為, , , , , ,則, ,故,所以,由題設(shè)知,且與是平面內(nèi)的兩條相交直線,由此得,又在平面內(nèi),故平面。
(Ⅱ)在上取一點,則存在,使,連接, , ,所以, , 。要使,只要,即,解得?芍(dāng)時, 點坐標(biāo)為,能使,此時, , ,所以。由, , ,所以,故所求二面角的余弦值為。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5,購買乙種商品的概率為0.6,且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立,各顧客之間購買商品也是相互獨立的.
(1)求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率;
(2)求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率;
(3)記ξ表示進入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù),求ξ的分布列及期望.
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義域為R的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)= ,若關(guān)于x的方程[f(x)]2+af(x)﹣a﹣1=0(a∈R)有且只有7個不同實數(shù)根,則a的取值范圍是 .
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【題目】設(shè)點M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1時按均勻分布出現(xiàn),試求滿足:
(1)x+y≥0的概率;
(2)x+y<1的概率;
(3)x2+y2≥1的概率.
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【題目】已知F為橢圓C: + =1的右焦點,橢圓C上任意一點P到點F的距離與點P到直線l:x=m的距離之比為 ,求:
(1)直線l方程;
(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點,過點F的直線交橢圓C于D、E兩點,直線AD、AE與直線l分別相交于M、N兩點.以MN為直徑的是圓是否恒過一定點,若是,求出定點坐標(biāo),若不是請說明理由.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,已知c=2,C= . (Ⅰ)若△ABC的面積等于 ,求a,b;
(Ⅱ)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC的面積.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,探究函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角,且其對邊分別為a,b,c,若c2+b2+cb=a2
(1)求A;
(2)若a=2 ,b+c=4,求△ABC的面積.
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