Question

(本小題滿分12分)

已知數(shù)列和滿足：,其中為實數(shù)，為正整數(shù)．

（1）對任意實數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；

（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè),為數(shù)列的前項和．是否存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）見解析；（3）。

【解析】

試題分析：（1）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使｛｝是等比數(shù)列， 則有,即矛盾．

所以｛｝不是等比數(shù)列．

(2)解：因為

又，所以

當(dāng)，，此時

當(dāng)時，， ，

此時，數(shù)列｛｝是以為首項，為公比的等比數(shù)列．

∴

(3)要使對任意正整數(shù)成立，

即

得（1）  

令，則當(dāng)為正奇數(shù)時，

∴的最大值為, 的最小值為,

于是，由（1）式得

當(dāng)時，由，不存在實數(shù)滿足題目要求

當(dāng)存在實數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有,且的取值范圍是。

考點：本題考查等比數(shù)列的簡單性質(zhì)。

點評：本題屬于數(shù)列綜合運用題，考查了由所給的遞推關(guān)系證明數(shù)列的性質(zhì)，對所給的遞推關(guān)系進(jìn)行研究求數(shù)列的遞推公式以及利用數(shù)列的求和公式求其和，再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數(shù)的取值范圍，難度較大，綜合性很強，對答題者探究的意識與探究規(guī)律的能力要求較高，是一道能力型題．