Question

【題目】對于曲線：上原點(diǎn)之外的每一點(diǎn)，求證存在過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)、，使與均為等腰三角形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先說明，上的每一點(diǎn)都在的內(nèi)部，從而，過的直線均與相交于兩點(diǎn)．事實(shí)上，的方程可變形為．

去掉原點(diǎn)有（原點(diǎn)顯然在橢圓內(nèi)部），． ①

這表明，上的點(diǎn)在橢圓內(nèi)部．

現(xiàn)取上的點(diǎn)（不同時(shí)為0）．過作直線 ②

代入橢圓方程得關(guān)于的二次方程

③

由①知，方程③恒有兩解，對應(yīng)著直線與橢圓的交點(diǎn)、．為使為的中點(diǎn)，我們令．

從而，即 ④

且． ⑤

把①、⑤代入方程③，得

有．

又由于交點(diǎn)

滿足

⑥

最后一式為0是因?yàn)?/span>在上．而⑥式表明．

可見，對于上的點(diǎn)，存在過的直線，與相交于兩點(diǎn)、，使為直角三角形且為斜邊的中點(diǎn)．從而，與均為等腰三角形．