Question

以下有四個(gè)命題：
①一個(gè)等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞O（k∈N），則對于任意自然數(shù)n＞k，都有a_n＞0；
②一個(gè)等比數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜0；
③一個(gè)等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜O；
④一個(gè)等比數(shù)列{a_n}中，若存在自然數(shù)k，使a_k•a_k+1＜0，則對于任意n∈N，都有a_n．a(chǎn)_n+1＜0；
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

對于①，等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k+1＞＞O（k∈N），
說明數(shù)列的公差d＞0，且第k項(xiàng)為正數(shù)，說明從第k項(xiàng)往后各項(xiàng)均大于a_k為正數(shù)
則對于任意自然數(shù)n＞k，都有a_n＞0，故①是正確的；
對于②，等比數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），
根據(jù)等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號相同、偶數(shù)項(xiàng)符號也相同的規(guī)律，
知此等比數(shù)列的所有項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，對于任意n∈N，都有a_n＜0，故②是正確的；
對于③，一個(gè)等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），
有可能它的前面有限項(xiàng)為正，而公差為負(fù)，如：5，3，1，-1，-3，-5，…
所以結(jié)論：對于任意n∈N，都有a_n＜O不成立，故③是不正確的；
對于④，等比數(shù)列{a_n}中，若存在自然數(shù)k，使a_k•a_k+1＜0，
說明這兩項(xiàng)一個(gè)為正數(shù)，另一個(gè)為負(fù)數(shù)，則它公比q＜0
由此，對于任意n∈N，都有a_n．a(chǎn)_n+1=a_n²q＜0，故④是正確的；
故正確的命題是①②④
故選D