Question

在不等邊△ABC中，設(shè)A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin²A，sin²B，sin²C依次成等差數(shù)列，給定數(shù)列

cosA

a

，

cosB

b

，

cosC

c

．
（1）試根據(jù)下列選項(xiàng)作出判斷，并在括號(hào)內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項(xiàng)的代號(hào)

B

．
A．是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列　　B．是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列
C．既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列　　D．既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列
（2）證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閟in²A、sin³B、sin²C成等差數(shù)列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，所以2b²=a²+c²．結(jié)合斜弦定理，從而得出正確選項(xiàng)即可；
（2）根據(jù)條件sin²A、sin³B、sin²C成等差數(shù)列，利用正弦定理得出三角形邊的關(guān)系式，又結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)

cosB

b

=

a2+c2-b2

2abc

，

cosA

a

=

b2+c2-a2

2abc

，

cosC

c

=

a2+b2-c2

2abc

．從而得出即

cosA

a

、

cosB

b

、

cosC

c

成等差數(shù)列．下面利用反證法證明不是等比數(shù)列，先假設(shè)其為等比數(shù)列，經(jīng)過推理得出與題設(shè)矛盾．

解答：解：（1）因?yàn)閟in²A、sin³B、sin²C成等差數(shù)列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，
所以2b²=a²+c²．
故選：B．
（2）因?yàn)閟in²A、sin³B、sin²C成等差數(shù)列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，
所以2b²=a²+c²．又

cosB

b

=

a2+c2-b2

2abc

，

cosA

a

=

b2+c2-a2

2abc

，

cosC

c

=

a2+b2-c2

2abc

．
顯然

2cosB

b

=

cosA

a

+

cosC

c

，
即

cosA

a

、

cosB

b

、

cosC

c

成等差數(shù)列．
若其為等比數(shù)列，有

cosA

a

=

cosB

b

=

cosC

c

，
所以tanA=tanB=tanC，A=B=C，與題設(shè)矛盾．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、數(shù)列與三角函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查反證明法思想．屬于基礎(chǔ)題．