【題目】已知函數(shù) 有兩個不同的零點.
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè), 是的兩個零點,證明: .
【答案】(1) (2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出,分四種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間,根據(jù)單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)草圖可篩選出符合題意的的取值范圍;(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè), ,可利用導(dǎo)數(shù)證明∴,∴,
于是,即, 在上單調(diào)遞減,可得,進(jìn)而可得結(jié)果.
試題解析:(1)【解法一】
函數(shù)的定義域為: .
,
①當(dāng)時,易得,則在上單調(diào)遞增,
則至多只有一個零點,不符合題意,舍去.
②當(dāng)時,令得: ,則
+ | 0 | - | |
增 | 極大 | 減 |
∴ .
設(shè),∵,則在上單調(diào)遞增.
又∵,∴時, ; 時, .
因此:
(i)當(dāng)時, ,則無零點,
不符合題意,舍去.
(ii)當(dāng)時, ,
∵ ,∴在區(qū)間上有一個零點,
∵ ,
設(shè), ,∵,
∴在上單調(diào)遞減,則,
∴,
∴在區(qū)間上有一個零點,那么, 恰有兩個零點.
綜上所述,當(dāng)有兩個不同零點時, 的取值范圍是.
(1)【解法二】
函數(shù)的定義域為: . ,
①當(dāng)時,易得,則在上單調(diào)遞增,
則至多只有一個零點,不符合題意,舍去.
②當(dāng)時,令得: ,則
+ | 0 | - | |
增 | 極大 | 減 |
∴ .
∴要使函數(shù)有兩個零點,則必有,即,
設(shè),∵,則在上單調(diào)遞增,
又∵,∴;
當(dāng)時:
∵ ,
∴在區(qū)間上有一個零點;
設(shè),
∵,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴,∴,
∴ ,
則,∴在區(qū)間上有一個零點,
那么,此時恰有兩個零點.
綜上所述,當(dāng)有兩個不同零點時, 的取值范圍是.
(2)【證法一】
由(1)可知,∵有兩個不同零點,∴,且當(dāng)時, 是增函數(shù);
當(dāng)時, 是減函數(shù);
不妨設(shè): ,則: ;
設(shè), ,
則:
.
當(dāng)時, ,∴單調(diào)遞增,又∵,
∴,∴,
∵,∴,
∵,∴,
∵, , 在上單調(diào)遞減,
∴,∴.
(2)【證法二】
由(1)可知,∵有兩個不同零點,∴,且當(dāng)時, 是增函數(shù);
當(dāng)時, 是減函數(shù);
不妨設(shè): ,則: ;
設(shè), ,
則
.
當(dāng)時, ,∴單調(diào)遞增,
又∵,∴,∴,
∵,
∴ ,
∵, , 在上單調(diào)遞減,
∴,∴.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了配合新冠疫情防控,某市組織了以“停課不停學(xué),成長不停歇”為主題的“空中課堂”,為了了解一周內(nèi)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)情況,從該市中抽取1000名學(xué)生進(jìn)行調(diào)査,根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)為了估計從該市任意抽取的3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時間在[200,300)的概率,特設(shè)計如下隨機模擬的方法:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),依次用0,1,2,3,…9的前若干個數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時間在[200,300)的同學(xué),剩余的數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時間不在[200,300)的同學(xué);再以每三個隨機數(shù)為一組,代表線上學(xué)習(xí)的情況.
假設(shè)用上述隨機模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機數(shù),請根據(jù)這批隨機數(shù)估計概率的值;
907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556
438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231
(2)為了進(jìn)一步進(jìn)行調(diào)查,用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽出20名同學(xué),在抽取的20人中,再從線上學(xué)習(xí)時間[350,450)(350分鐘至450分鐘之間)的同學(xué)中任意選擇兩名,求這兩名同學(xué)來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于,②,③,④,⑤與⑥,選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式序號填空:
(1)角為第一象限角的充要條件是_____;
(2)角為第二象限角的充要條件是_____;
(3)角為第三象限角的充要條件是_____;
(4)角為第四象限角的充要條件是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足:對于任意實數(shù)都有恒成立,且當(dāng)時,.
(Ⅰ)判定函數(shù)的單調(diào)性,并加以證明;
(Ⅱ)設(shè),若函數(shù)有三個零點從小到大分別為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于, 兩點,其橫坐標(biāo)分別為, ,線段的中點的橫坐標(biāo)為,且, 恰為函數(shù)的零點,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)工會利用 “健步行”開展健步走積分獎勵活動.會員每天走5千步可獲積分30分(不足5千步不積分),每多走2千步再積20分(不足2千步不積分).記年齡不超過40歲的會員為類會員,年齡大于40歲的會員為類會員.為了解會員的健步走情況,工會從兩類會員中各隨機抽取名會員,統(tǒng)計了某天他們健步走的步數(shù),并將樣本數(shù)據(jù)分為, , , , , , , , 九組,將抽取的類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖, 類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布表(圖、表如下所示).
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)從該地區(qū)類會員中隨機抽取名,設(shè)這名會員中健步走的步數(shù)在千步以上(含千步)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)設(shè)該地區(qū)類會員和類會員的平均積分分別為和,試比較和的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知無窮數(shù)列的前n項和為,記, ,…, 中奇數(shù)的個數(shù)為.
(Ⅰ)若= n,請寫出數(shù)列的前5項;
(Ⅱ)求證:"為奇數(shù), (i = 2,3,4,...)為偶數(shù)”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件;
(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求數(shù)列的通項公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素,求的值;
(2)設(shè),若對任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次,記錄如下:
甲:82,81,79,78,95,88,93,84;乙:92,95,80,75,83,80,90,85
(1) 用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù),并計算平均數(shù)與方差;
(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度(在平均數(shù)、方差或標(biāo)準(zhǔn)差中兩個)考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請說明理由.
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