Question

已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，且是其中一個(gè)零點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）求的取值范圍；
（3）設(shè)，且的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1），（2），（3）

試題分析：（1）函數(shù)在處單調(diào)性發(fā)生變化，所以，由得.（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042933214479.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，因此因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，所以必有兩個(gè)不等的根，．又在上是增函數(shù)，所以大根不小于1，即，，故的取值范圍為．（3）已知不等式解集求參數(shù)取值范圍，有兩個(gè)解題思路，一是解不等式，根據(jù)解集包含關(guān)系對應(yīng)參數(shù)取值范圍.二是轉(zhuǎn)化，將不等式在區(qū)間有解理解為恒成立問題，利用函數(shù)最值解決參數(shù)取值范圍.本題由于已知是其中一個(gè)零點(diǎn)，所以兩個(gè)方法都簡便.否則應(yīng)利用變量分離求最值法.
試題解析：（1）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴．         1分
∵f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，取到極小值，即．∴．           3分
（2）由（1）知，，
∵是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即，∴．           5分
∵的兩個(gè)根分別為，．
又∵在上是增函數(shù)，且函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，
∴，即．                      7分
∴．
故的取值范圍為．                9分
（3）解法1：由（2）知，且．
∵是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，∴，
∵，∴，
∴點(diǎn)是函數(shù)和函數(shù)的圖像的一個(gè)交點(diǎn)．           10分
結(jié)合函數(shù)和函數(shù)的圖像及其增減特征可知，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)和函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的解集為．
即方程組①只有一組解：            11分
由，得．
即．
即．
∴或．            12分
由方程②
得．∵，
當(dāng)，即，解得．           13分
此時(shí)方程②無實(shí)數(shù)解，方程組①只有一個(gè)解
所以時(shí)，的解集為．           14分
（3）解法2：由（2）知，且．
∵1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)

又的解集為，
∴的解集為．          10分
．
．                            12分
．
．          14分