Question

已知函數(shù)(a，b均為正常數(shù)).
（1）求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點；
（2）設(shè)函數(shù)在處有極值，
①對于一切，不等式恒成立，求的取值范圍；
②若函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

 （1）詳見解析；（Ⅱ）①②.

試題分析：（Ⅰ）證明函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點，可由零點的存在性定理考察和的符號，若且，則結(jié)論成立，若，可將區(qū)間進行適當分割，再依上面方法進行，直到找到函數(shù)的零點的存在區(qū)間；（Ⅱ）易知，從而求出的值.
①不等式恒成立可化分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，這是一個普通的三角函數(shù)問題，通過判斷三角函數(shù)的單調(diào)性容易解決；②函數(shù)在一個已知區(qū)間上為增函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題，通常有兩種方法，一是用在這個區(qū)間上導函數(shù)的符號確定，一般三角函數(shù)不用此方法，二是求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，它必包含已知區(qū)間，然后考察參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）證明：，

所以，函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點             4分
（2）由已知得：所以a=2，
所以                                                         5分
①不等式恒成立可化為：
記函數(shù)
，所以在恒成立                    8分
函數(shù)在上是增函數(shù)，最小值為
所以， 所以的取值范圍是                                     10分
②由得：，所以                  11分
令，可得                 13分
∵函數(shù)在區(qū)間（）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴                                     14分
∴，
∵，∴，  ∴   ∴                           16分