Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的普通方程為，曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)）；以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，.

（1）求的參數(shù)方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知是上參數(shù)對應(yīng)的點，為上的點，求中點到直線的距離取得最小值時，點的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；的直角坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）先將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用圓的參數(shù)方程的知識，寫出的參數(shù)方程.利用傾斜角和斜率的對應(yīng)關(guān)系，求得的直角坐標(biāo)方程.（2）先求得點的坐標(biāo)，利用參數(shù)表示出出點的坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式求得點坐標(biāo)，利用點到直線距離公式求得距離的表達式，并利用三角函數(shù)的知識求得最小值，并求出點的坐標(biāo).

解：

（1）化為，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；

的直角坐標(biāo)方程為．

（2）由題設(shè)，由（1）可設(shè)，于是．

到直線距離，當(dāng)時，取最小值，此時點的直角坐標(biāo)為．