Question

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過(guò)點(diǎn)A且與BC邊相切于點(diǎn)D，與AB、AC分別交于E，F(xiàn)，求證：EF∥BC．

B．選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R若矩陣M=

.

-1 a b 3

.

所對(duì)應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．

C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
將參數(shù)方程

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

（t為參數(shù)）化為普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b是正數(shù)，求證：（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

．

Answer 1

分析：A：根據(jù)題意，連接DF．因?yàn)锽C與圓相切，有切線的性質(zhì)可得所以∠CDF=∠DAF，再有圓周角的性質(zhì)可得∠EFD=∠EAD，根據(jù)題意易得∠EAD=∠DAF，則有∠CDF=∠EFD，由平行線的判定方法可得EF∥BC．   
B：根據(jù)題意，先設(shè)P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點(diǎn)其在M的作用下變?yōu)椋▁'，y'），由矩陣變化可得（x，y）與（x'，y'）的關(guān)系，將其代入2x-y=3得-（b+2）x+（2a-3）y=3，依題意其與2x-y=3完全一樣，比較系數(shù)可得答案．
C：由整式關(guān)系可得（t+

1

t

）²-（t-

1

t

）²=4，而x=2（t+

1

t

），y=4（t-

1

t

），即可得（

x

2

）²-（

y

4

）²=4，化簡(jiǎn)可得答案．
D：從左邊向右邊證明，先把左邊展開(kāi)可得左式=2ab+

1

2ab

+

5

2

，再由不等式的性質(zhì)，可=2ab+

1

2ab

≥2

2ab• 1 2ab

=2，代入前式可得證明．

解答：解：A：證明：如圖，連接DF．
因?yàn)锽C與圓相切，
所以∠CDF=∠DAF．
因?yàn)椤螮FD與∠EAD為弧DE所對(duì)的圓周角，
所以∠EFD=∠EAD．
又因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，
故∠EAD=∠DAF． 
所以∠CDF=∠EFD，
所以EF∥BC．   
B：設(shè)P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點(diǎn)其在M的作用下變?yōu)椋▁'，y'），
則

-1 b

   

a 3

x y

=

-x+ay bx+3y

=

x′ y′

⇒

x′=-x+ay y′=bx+3y

代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3其與2x-y=3完全一樣．
故得

-b-2=2 2a-3=-1

⇒

b=-4 a=1

；
C：因?yàn)椋╰+

1

t

）²-（t-

1

t

）²=4，且x=2（t+

1

t

），y=4（t-

1

t

），
所以（

x

2

）²-（

y

4

）²=4，
化簡(jiǎn)得普通方程為

x2

16

-

y2

64

=1．
D：證明：左式=（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）=2ab+

1

2ab

+2+

1

2

=

5

2

+2ab+

1

2ab

≥

5

2

+2

2ab• 1 2ab

=

5

2

+2≥

9

2

=右式；
即的證（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題為選做題，一般為4選2或4選1，考查了圓的切線性質(zhì)，二階矩陣的線性表示，簡(jiǎn)單的參數(shù)方程化為普通方程，簡(jiǎn)單不等式的證明，是一道綜合題．