Question

設等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，若a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅
（1）求數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）若a_n=b_m，n，m∈N^*，求n與m之間的關系；
（3）將數(shù)列{a_n}，{b_n}中的公共項按由小到大的順序排列組成一個新的數(shù)列{c_n}，是否存在正整數(shù)p，q，r（p＜q＜r）使得p，q，r和c_p+p，c_q+q，c_r+r均成等差數(shù)列？說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意，通過解方程組

aq2=a+2d aq4=a+6d

即可求得數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）由a_n=b_n可求得d=

a

2

，代入整理有n+1=（±1）^m-1•2

m+1

2

，可分析（±1）^m-1＞0，從而可得n與m之間的關系；
（3）設a_n=b_n，令m=2k-1（k∈N^*），可求得b_m=a•2^k-1，令c_n=2^n-1a，若存在正整數(shù)p、q、r（p＜q＜r）滿足題意

2q=p+r 2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)(a•2r-1+r)

，由基本不等式可得出矛盾，從而可得結論．

解答：解：（1）設{b_n}的公比為q，由題意

aq2=a+2d aq4=a+6d

即

aq2-a=2d aq4-a=6d

--------------------------------------------（2分）
q=1不合題意，故

q2-1

q4-1

=

1

3

，解得q²=2，
∴q=±

2

----------------（4分）
（2）由a_n=b_n得：a+（n-1）d=aq^n-1，又2d=aq²-a=a，
∴d=

a

2

------------------（6分）
∴1+

n-1

2

=(±

2

)m-1即n+1=（±1）^m-1•2

m+1

2

--------------------------（8分）
∵n+1∈N^*，
∴（±1）^m-1＞0，
∴m為奇數(shù)，且n=2

m+1

2

-1，-------（10分）
（3）若{a_n}與{b_n}有公共項，不妨設a_n=b_n，
由（2）知：m為奇數(shù)，且n=2

m+1

2

-1，
令m=2k-1（k∈N^*），則b_m=a•(

2

)2k-1-1=a•2^k-1，
∴c_n=2^n-1a---------------------------------------------------------------（12分）
若存在正整數(shù)p、q、r（p＜q＜r）滿足題意，則

2q=p+r 2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)(a•2r-1+r)

∴2^q=2^p-1+2^r-1，又2^p-1+2^r-1≥2

2p+r-2

=2

p+r

2

（當且僅當p=r時取“=”）
又∵p≠r，
∴2^p-1+2^r-1＞2

p+r

2

----------------------（14分）
又y=2^x在R上增，
∴q＞

p+r

2

．與題設q=

p+r

2

矛盾，
∴不存在p、q、r滿足題意．---------------------------------------------------（16分）

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式與等比數(shù)列的通項公式的綜合應用，考查方程思想與化歸思想的綜合運用，突出抽象思維與邏輯推理能力的考查，屬于難題．