Question

【題目】某次考試中，語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）如果成績(jī)大于135的為特別優(yōu)秀，隨機(jī)抽取的500名學(xué)生在本次考試中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的大約各多少人？（假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的）

（Ⅱ）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（Ⅰ）中至少有一科成績(jī)特別優(yōu)秀的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，是否有99%的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀.

（附公及表）

①若，則， ；

②， ；

③

Answer 1

【答案】（I）數(shù)學(xué)人，語(yǔ)文人；（II）期望為；（III）有的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀.

【解析】試題分析：（Ⅰ）語(yǔ)文服從正態(tài)分布， ，即 ，根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算成績(jī)大于135的頻率，再乘以500就是人數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果可知，至少有一科特別優(yōu)秀的有16人，其中都優(yōu)秀的有6人，恰有一科優(yōu)秀的有10人， 服從超幾何分布，列出分布列；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）列 列聯(lián)表，計(jì)算 和6.635比較大小.

試題解析：（Ⅰ） ∵語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布，

∴語(yǔ)文成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為，

數(shù)學(xué)成績(jī)特別優(yōu)秀的概率為，

故語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)有人，數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的同學(xué)有人；

（Ⅱ）∵至少有一科成績(jī)特別優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為： ，

∴語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有人，單科優(yōu)秀的有人， 的所有可能取值為，

∴， ，

， ，

∴的分布列為：

	0	1	2	3

∴；

（Ⅲ）列聯(lián)表：

	語(yǔ)文特別優(yōu)秀	語(yǔ)文不特別優(yōu)秀	合計(jì)
數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀	6	6	12
數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀	4	484	488
合計(jì)	10	490	500

于，

∴有的把握認(rèn)為語(yǔ)文特別優(yōu)秀的同學(xué)數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀．

注：計(jì)算時(shí)，不計(jì)算出近似值144.5，答案中類(lèi)有似“”的化簡(jiǎn)步驟直接寫(xiě)出“>6.635”不扣分．