已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為,函數(shù).
(1)若函數(shù)g(x)在x=1處有極值,求g(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上為增函數(shù),且b2﹣mb+4≥g(x)在x∈[﹣1,1]時恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
考點:
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;函數(shù)解析式的求解及常用方法;函數(shù)恒成立問題;直線的斜率.
專題:
計算題.
分析:
(1)先求出斜率為3的切線方程,根據(jù)兩條切線間的距離求出a值,再討論滿足g′(x)=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況,來確定極值,求出b即可.
(2)欲使函數(shù)g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上為增函數(shù)只需轉(zhuǎn)化成g′(x)≥0在區(qū)間[﹣1,1]上恒成立,求出b的范圍,根據(jù)g(x)在x∈[﹣1,1]是增函數(shù)知g(x)的最大值為g(1),只需使b2﹣mb+4≥g(1)恒成立即可.
解答:
解:(1)∵,
∴由=3得x=±a,
即切點坐標(biāo)為(a,a),(﹣a,﹣a)
∴切線方程為y﹣a=3(x﹣a),或y+a=3(x+a)(2分)
整理得3x﹣y﹣2a=0或3x﹣y+2a=0
∴,
解得a=±1,
∴f(x)=x3.
∴g(x)=x3﹣3bx+3(4分)
∵g′(x)=3x2﹣3b,g(x)在x=1處有極值,
∴g′(1)=0,
即3×12﹣3b=0,解得b=1
∴g(x)=x3﹣3x+3(6分)
(2)∵函數(shù)g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上為增函數(shù),
∴g′(x)=3x2﹣3b≥0在區(qū)間[﹣1,1]上恒成立,
∴b≤0,
又∵b2﹣mb+4≥g(x)在區(qū)間[﹣1,1]上恒成立,
∴b2﹣mb+4≥g(1)(8分)
即b2﹣mb+4≥4﹣3b,若b=0,則不等式顯然成立,若b≠0,
則m≥b+3在b∈(﹣∞,0)上恒成立
∴m≥3.
故m的取值范圍是[3,+∞)
點評:
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值,以及函數(shù)恒成立問題和利用待定系數(shù)法求解析式,屬于基礎(chǔ)題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為,函數(shù).(Ⅰ)若函數(shù)在處有極值,求的解析式(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),且在區(qū)間上都成立,求實數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省南昌二中高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年甘肅省天水市高三上學(xué)期第一階段性考試文科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本題滿分12分)已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為,函數(shù)。
(1)若函數(shù)在處有極值,求的解析式;
(2)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù),且在時恒成立,求實數(shù)的取值范圍。
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