Question

選考題部分
（1）（選修4-4 參數方程與極坐標）（本小題滿分7分）
在極坐標系中，過曲線L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一點A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ為銳角）作平行于θ=

π

4

(ρ∈R)的直線l與曲線分別交于B，C．
（Ⅰ） 寫出曲線L和直線l的普通方程（以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比數列，求a的值．
（2）（選修4-5 不等式證明選講）（本小題滿分7分）
已知正實數a、b、c滿足條件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求證：

a

+

b

+

c

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

Answer 1

分析：（1）（I）根據極坐標方程與直角坐標系下的普通方程的互化公式可求曲線方程及直線方程
（II）寫出直線l的參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數），代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)，因為|BC|²=|AB|•|AC|，代入可求a的值；
（2）（Ⅰ）由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)，代入a+b+c=3，即可得到結論；
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，a+b+c=3得2

ab

+c≤3，根據c=ab，可得2

c

+c≤3，從而可求c的最大值1．

解答：選考題部分
（1）參數方程與極坐標
解：（Ⅰ）∵曲線L：ρsin²θ=2acosθ，∴ρ²sin²θ=2aρcosθ，∴y²=2ax，
∵點A(2

5

，π+θ)（其中tanθ=2，θ為銳角）
∴A（-2，-4）
∵直線l平行于θ=

π

4

(ρ∈R)
∴直線L的方程為y=x-2（3分）
（Ⅱ）直線l的參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數），代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)
因為|BC|²=|AB|•|AC|，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1•t2=t1•t2
解得 a=1（7分）
（2）（Ⅰ）由柯西不等式得(

a

+

b

+

c

)2≤(a+b+c)(1+1+1)
∵a+b+c=3，
∴(

a

+

b

+

c

)2≤9
∴

a

+

b

+

c

≤3，當且僅當a=b=c=1，取等號
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，a+b+c=3得2

ab

+c≤3
若c=ab，則2

c

+c≤3，即(

c

+3)(

c

-1)≤0
∴

c

≤1，∴c≤1，當且僅當a=b=1時，c有最大值1．

點評：本題主要考查了極坐標與直角坐標的互化，直線與曲線的位置關系的應用，考查柯西不等式的運用，解題的關鍵是要熟練應用極坐標與直角坐標的互化．